Question

【題目】已知f（x）是定義在（﹣1，1）上的偶函數，當x∈[0，1）時f（x）=lg ，
（1）求f（x）的解析式；
（2）探求f（x）的單調區間，并證明f（x）的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x∈（﹣1，0），則﹣x∈（0，1），

∴f（﹣x）=lg ，

∵f（x）是定義在（﹣1，1）上的偶函數，

∴f（x）=f（﹣x）=lg ，

綜上可得：f（x）=

（2）解：f（x）在[0，1）上單調遞減，在（﹣1，0）單調遞增．證明如下：

∵f′（x）= ，

當x∈（﹣1，0）時，f′（x）＞0恒成立，

當x∈[0，1），f′（x）＜0恒成立，

故f（x）在[0，1）上單調遞減，在（﹣1，0）單調遞增

【解析】（1）根據f（x）是定義在（﹣1，1）上的偶函數，當x∈[0，1）時f（x）=lg ，求出x∈（﹣1，0）時函數的解析式，綜合可得答案；（2）f（x）在[0，1）上單調遞減，在（﹣1，0）單調遞增，利用導數法可證得結論．
【考點精析】本題主要考查了奇偶性與單調性的綜合和利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．