Question

【題目】如圖,在長方體中滿足,若點在棱上點在棱上,且.

（1）求證:;

（2）當是的中點時,求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）要證明,只需證明平面,將證線線垂直轉化為證線面垂直,即可求得答案;

（2）以為坐標原點,的方向為軸正方向,為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系,根據面面角的向量求法即可求得答案.

（1） 平面,平面,

.

又,且,,平面,

平面,

,平面,

.

（2）由（1）知,即,

為的中點,

,得,

,.

以為坐標原點,的方向為軸正方向,為單位長,

建立如圖所示的空間直角坐標系.

點,,,,

向量,,

設平面的法向量為,則

即

可取.

設平面的法向量為,

則即

可取,

,

由題意可知二面角的平面角是鈍角,

二面角的平面角的余弦值為.