Question

【題目】已知曲線上動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數.若過的動直線與曲線相交于兩點.

(1)判斷曲線的名稱并寫出它的標準方程；

(2)是否存在與點不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) 曲線的名稱是橢圓，標準方程 (2)見解析

【解析】

（1）設動點的坐標，根據點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數，可得所求軌跡方程．（2）由直線與軸垂直和直線與軸垂直兩種特殊情況可得點的坐標只可能是，所以只需證明直線斜率存在且時均有即可，然后利用代數法求解即可．

（1）設動點的坐標，點到直線的距離為，

依題意可知，即，

所以，

兩邊平方后化簡得．

所以曲線的名稱是橢圓，它的標準方程為．

（2）①當直線與軸垂直時，由橢圓的對稱性可知，

又因為，

則，

所以點必在軸上．

②當直線與軸垂直時，則，由①可設，

由，解得，或．

則點的坐標只可能是．

下面只需證明直線斜率存在且時均有即可．

由題意設直線的方程為，

由消去整理得,

其中恒成立．

設，

則，

所以．

設點關于軸對稱的點坐標，

因為直線的斜率，

同理得直線斜率，

所以，

因此，

所以三點共線，

故，

所以存在點滿足題意．