Question

【題目】用一根長(zhǎng)為分米的鐵絲制作一個(gè)長(zhǎng)方體框架(由12條棱組成),使得長(zhǎng)方體框架的底面長(zhǎng)是寬的倍．在制作時(shí)鐵絲恰好全部用完且損耗忽略不計(jì)．現(xiàn)設(shè)該框架的底面寬是分米,用表示該長(zhǎng)方體框架所占的空間體積(即長(zhǎng)方體的體積)．

（1）試求函數(shù)的解析式及其定義域；

（2）當(dāng)該框架的底面寬取何值時(shí),長(zhǎng)方體框架所占的空間體積最大,并求出最大值．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)當(dāng)該框架的底面寬為8分米時(shí)，長(zhǎng)方體框架所占的空間體積最大，最大值為1536立方分米．

【解析】

（1）由題意,當(dāng)長(zhǎng)方體框架的底面寬是分米時(shí),其長(zhǎng)是分米,高是分米,

所以．

由,解得,即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

（2）法1：因?yàn)?/span>,

所以 ,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),有最大值,

最大值為．

即當(dāng)該框架的底面寬為8分米時(shí)，長(zhǎng)方體框架所占的空間體積最大，最大值為1536立方分米．

法2：因?yàn)?/span>

所以

易得當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．

從而在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,

故當(dāng)時(shí),有最大值,最大值為．

即當(dāng)該框架的底面寬為8分米時(shí)，長(zhǎng)方體框架所占的空間體積最大，最大值為1536立方分米．