Question

【題目】已知函數，.

（1）若，求函數在區間（其中，是自然對數的底數）上的最小值；

（2）若存在與函數，的圖象都相切的直線，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）根據題意得，利用導數，分類討論求得函數的單調性，即可求解函數的最小值；

（2）設函數在點處與函數在點處有相同的切線，分別求得，利用斜率相等，轉化為方程有解，設函數，利用導數求得函數的單調性和最值，即可求解。

（1）由題意，可得，

，

令，得.

①當時，在上單調遞減，

∴.

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

∴.

綜上，當時，，當時，.

（2）設函數在點處與函數在點處有相同的切線，

則，∴，

∴，代入

得.

∴問題轉化為：關于的方程有解，

設，則函數有零點，

∵，當時，，∴.

∴問題轉化為：的最小值小于或等于0.

，

設，則

當時，，當時，.

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴的最小值為.

由知，故.

設，

則，故在上單調遞增，

∵，∴當時，，

∴的最小值等價于.

又∵函數在上單調遞增，∴.