Question

【題目】記Sn為等比數列{an}的前n項和．已知S2=2，S3=﹣6．（12分）
（1）求{an}的通項公式；
（2）求Sn ， 并判斷Sn+1 ， Sn ， Sn+2是否能成等差數列．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設等比數列{an}首項為a1，公比為q，

則a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，則a1= = ，a2= = ，

由a1+a2=2， + =2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，

則a1=﹣2，an=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，

∴{an}的通項公式an=（﹣2）n；

（2）

由（1）可知：Sn= = =﹣ （2+（﹣2）n+1），

則Sn+1=﹣ （2+（﹣2）n+2），Sn+2=﹣ （2+（﹣2）n+3），

由Sn+1+Sn+2=﹣ （2+（﹣2）n+2）﹣ （2+（﹣2）n+3）=﹣ [4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×+（﹣2）n+1]，

=﹣ [4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣ （2+（﹣2）n+1）]，

=2Sn，

即Sn+1+Sn+2=2Sn，

∴Sn+1，Sn，Sn+2成等差數列．

【解析】（1.）由題意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1= = ，a2= = ，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1 ， 根據等比數列通項公式，即可求得{an}的通項公式；
（2.）由（1）可知．利用等比數列前n項和公式，即可求得Sn ， 分別求得Sn+1 ， Sn+2 ， 顯然Sn+1+Sn+2=2Sn ， 則Sn+1 ， Sn ， Sn+2成等差數列．
【考點精析】本題主要考查了等比數列的通項公式（及其變式）和等比數列的前n項和公式的相關知識點，需要掌握通項公式：；前項和公式：才能正確解答此題．