Question

【題目】近日，某公司對其生產的一款產品進行促銷活動，經測算該產品的銷售量P（單位：萬件）與促銷費用x（單位：萬元）滿足函數關系：p=3﹣ （其中0≤x≤a，a為正常數）．已知生產該產品件數為P（單位：萬件）時，還需投入成本10+2P（單位：萬元）（不含促銷費用），產品的銷售價格定為（4+ ）元/件，假定生產量與銷售量相等．
（1）將該產品的利潤y（單位：萬元）表示為促銷費用x（單位：萬元）的函數；
（2）促銷費用x（單位：萬元）是多少時，該產品的利潤y（單位：萬元）取最大值？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，y=（4+ ）p﹣x﹣（10+2p），

將p=3﹣ 代入化簡得：y=26﹣ ﹣x（0≤x≤a）；

（2）解：y′=﹣ ，

當a≥1時，x∈（0，1）時y'＞0，所以函數26﹣ ﹣x在（0，1）上單調遞增，

當x∈（1，a）時y'＜0，所以函數26﹣ ﹣x在（1，a）上單調遞減，

從而促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大；

當a＜1時，因為函數26﹣ ﹣x在（0，1）上單調遞增，

所以在[0，a]上單調遞增，故當x=a時，函數有最大值．

即促銷費用投入a萬元時，廠家的利潤最大．

綜上，當a≥1時，促銷費用投入1萬元，廠家的利潤最大，為23 萬元；

當a＜1時，促銷費用投入a萬元，廠家的利潤最大，為26﹣ ﹣a 萬元

【解析】（1）根據產品的利潤=銷售額﹣產品的成本建立函數關系；（2）利用導數基本不等式可求出該函數的最值，注意等號成立的條件．