Question

【題目】已知橢圓C:的焦距為，且C過點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設、分別是橢圓C的下頂點和上頂點，P是橢圓上異于、的任意一點，過點P作軸于M，N為線段PM的中點，直線與直線交于點D，E為線段的中點，O為坐標原點，則是否為定值，若是，請求出定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（Ⅰ）由焦距為，得，由橢圓過點，得，再由a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝1，由此能求出橢圓C的方程；

（Ⅱ）設P（x0，y0），x0≠0，則M（0，y0），，由此能求出直線B2N的方程，令y＝﹣1，得，由B2（0，﹣1），E為線段B1D的中點，得，從而，，由此能證明．

(1)由題意各焦距為，∴，又∵橢圓過點，

∴代入橢圓方程得，∵，解得，，

故所求橢圓C的方程是；

(2)證明：設，，則，，

∵點P在橢圓C上，，即，

又，∴直線的方程為，

令，得，∴，

又，E為線段的中點，∴，

∴，，

因

.

∴，即.