Question

【題目】如圖，幾何體AMDCNB是由兩個完全相同的四棱錐構成的幾何體，這兩個四棱錐的底面ABCD為正方形，，平面平面ABCD.

(1)證明:平面平面MDC.

(2)若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）根據題意由面面垂直的性質可得平面MAD，即可證出，又，利用線面垂直的判定定理即可證出.

（2）以N為坐標原點，分別以NC，NB所在的直線為x，y軸，過N作與平面NBC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系， 設，求出平面NAD的一個法向量以及平面MAD的一個法向量，利用空間向量的數量積即可求解.

(1)證明:因為平面平面ABCD，且相交于AD，又，

所以平面MAD

所以.

又，，

所以平面MDC.

因為平面MAB，所以平面平面MDC.

(2)解:以N為坐標原點，分別以NC，NB所在的直線為x，y軸，

過N作與平面NBC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.

設，則，，，

所以，.

設平面NAD的一個法向量，則，

令，得.

又平面MAD的一個法向量

所以.

由圖可知二面角為鈍角，

所以所求二面角的余弦值為.