Question

【題目】數列中，若，則下列命題中真命題個數是（ ）

（1）若數列為常數數列，則；

（2）若，數列都是單調遞增數列；

（3）若，任取中的項構成數列的子數（），則都是單調數列.

A.個B. 個C.個D.個

Answer 1

【答案】C

【解析】

對（1），由數列為常數數列，則，解方程可得的值；

對（2），由函數，，求得導數和極值，可判斷單調性；

對（3），由，判斷奇偶性和單調性，結合正弦函數的單調性，即可得到結論．

數列中，若，，，

（1）若數列為常數數列，則，

解得或，故（1）不正確；

（2）若，，

，

由函數，，

，

由，可得極值點唯一且為，

極值為，

由，可得，

則，即有.

由于，，

由正弦函數的單調性，可得，

則數列都是單調遞增數列，故（2）正確；

（3）若，任取中的9項，，，，，

構成數列的子數列，，2，，9，是單調遞增數列；

由，可得，為奇函數；

當時，，時，；

當時，；時，，

運用正弦函數的單調性可得或時，數列單調遞增；

或時，數列單調遞減．

所以數列都是單調數列，故（3）正確；

故選：C.