Question

【題目】設橢圓的右頂點為A，上頂點為B．已知橢圓的離心率為，．

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓交于，兩點，與直線交于點M，且點P，M均在第四象限．若的面積是面積的2倍，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；(2)．

【解析】

分析：（I）由題意結合幾何關系可求得.則橢圓的方程為.

（II）設點P的坐標為，點M的坐標為 ，由題意可得.

易知直線的方程為，由方程組可得.由方程組可得.結合，可得，或.經檢驗的值為.

詳解：（I）設橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得．由,從而．

所以，橢圓的方程為．

（II）設點P的坐標為，點M的坐標為，由題意，，

點的坐標為．由的面積是面積的2倍，可得，

從而，即．

易知直線的方程為，由方程組消去y，可得．由方程組消去，可得．由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或．

當時，，不合題意，舍去；當時，，，符合題意．

所以，的值為．