Question

【題目】如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)任意都有成立，那么稱為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”．給出如下四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)存在“線性覆蓋函數(shù)”；

②對(duì)于給定的函數(shù)，其“線性覆蓋函數(shù)”可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)；

③為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”；

④若為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”，則

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.

Answer 1

【答案】②③.

【解析】

根據(jù)題中提供的定義，對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)通過證明或找反例分析對(duì)錯(cuò)，從而解得正確選項(xiàng).

解：選項(xiàng)①：假設(shè)存在，為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”，此時(shí)顯然不成立，只有才有可能使得對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)任意都有成立，即，而事實(shí)上，增長的速度比要快很多，當(dāng)時(shí)，的函數(shù)值一定會(huì)大于的函數(shù)值，故選項(xiàng)①不成立；

選項(xiàng)②：如函數(shù)，則就是函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”，且有無數(shù)個(gè)，再如①中的就沒有“線性覆蓋函數(shù)”，所以命題②正確；

選項(xiàng)③：設(shè)，

則，

令，解得，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)；

所以

，

所以在上恒成立，故滿足定義，選項(xiàng)③正確；

選項(xiàng)④：若為函數(shù)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”，

則 在R上恒成立，

即在R上恒成立，

故，

因?yàn)?/span>開口向下，對(duì)稱軸為，

所以當(dāng)時(shí)，，

所以，所以選項(xiàng)④錯(cuò)誤，

故本題選擇②③.