Question

5、給出下面四個命題：①“直線a、b為異面直線”的充分非必要條件是：直線a、b不相交；②“直線l垂直于平面α內所有直線”的充要條件是：l⊥平面α；③“直線a⊥b”的充分非必要條件是“a垂直于b在平面α內的射影”；④“直線α∥平面β”的必要非充分條件是“直線a至少平行于平面β內的一條直線”．其中正確命題的個數是（　　）

A、1個

B、2個

C、3個

D、4個

Answer 1

分析：根據平面與平面之間的位置關系及空間中直線與平面之間的位置關系，我們逐一對已知中的四個命題中進行判斷，結合充要條件的定義，即可得到結論．

解答：解：“直線a、b為異面直線”?“直線a、b不相交”為真命題，
“直線a、b不相交”?“直線a、b為異面直線”為假命題
故：“直線a、b為異面直線”的必要不充分條件是：直線a、b不相交，即①錯誤；
根據線面垂直的定義，我們易得②正確；
“直線a⊥b”?“a垂直于b在平面α內的射影”為假命題
“a垂直于b在平面α內的射影”?“直線a⊥b”也為假命題，
故“直線a⊥b”的不充分也不必要條件是“a垂直于b在平面α內的射影”，即③錯誤
“直線α∥平面β”?“直線a至少平行于平面β內的一條直線”為真命題
但“直線a至少平行于平面β內的一條直線”?“直線α∥平面β”為假命題，
故“直線α∥平面β”的必要非充分條件是“直線a至少平行于平面β內的一條直線”，即④正確
故選B

點評：判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．