Question

對于曲線C：

x2

4-k

+

y2

k-1

=1，給出下面四個命題：
①由線C不可能表示橢圓；
②若曲線C表示雙曲線，則k＜1或k＞4；
③當1＜k＜4時，曲線C表示橢圓
④若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1＜k＜

5

2

其中正確命題的個數為

 

個．

Answer 1

分析：由

4-k＞0 k-1＞0 4-k≠k-1

，可得1＜k＜4且k≠

5

2

；若曲線C表示雙曲線，則（4-k）（k-1）＜0，由此可判斷結論．

解答：解：①由

4-k＞0 k-1＞0 4-k≠k-1

，可得1＜k＜4且k≠

5

2

，此時曲線表示橢圓，故①不正確；
②若曲線C表示雙曲線，則（4-k）（k-1）＜0，即1＜k＜4，故②不正確；
③當1＜k＜4且k≠

5

2

，此時曲線表示橢圓，故③不正確；
④若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，此時4-k＞k-1＞0，所以1＜k＜

5

2

，故④正確，
所以正確命題的個數為1個．
故答案為：1．

點評：本題考查橢圓、雙曲線的標準方程，考查學生對橢圓、雙曲線的標準方程的理解，屬于中檔題．