Question

【題目】已知橢圓過點，且離心率為．

(I)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設直線與橢圓交于兩點．若直線上存在點，使得四邊形是平行四邊形，求的值．

Answer 1

【答案】(1) (2) ，或

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓過點，可得，再由離心率為結合，可求得，從而可得橢圓的方程；（Ⅱ）設直線的方程為，則， ，由 得，由韋達定理、弦長公式結合，可得，解方程即可求得的值.

試題解析：（Ⅰ）由題意得 ， ， 所以 ．

因為 ，

所以 ，

所以 橢圓的方程為 ．

（Ⅱ）若四邊形是平行四邊形，

則 ，且 .

所以 直線的方程為，

所以 ， ．

設， ．

由 得，

由，得 ．

且， ．

所以 .

．

因為 ， 所以 ．

整理得 ，

解得 ，或 ．

經檢驗均符合，但時不滿足是平行四邊形，舍去．

所以 ，或 ．