【題目】已知二次函數(shù)
(其中
)滿足下列三個條件:①
圖象過坐標原點;②對于任意
都
成立;③方程
有兩個相等的實數(shù)根.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)令
(其中
)，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間(直接寫出結(jié)果即可);
(3)研究方程
在區(qū)間
內(nèi)的解的個數(shù).
【答案】（1）
；（2）見解析；（3）見解析
【解析】
（1）由圖象過原點得
，由
得對稱軸，方程
有兩個相等實根，對應(yīng)的
，三個條件可得三個等式，從而求得
得解析式；
（2）化簡函數(shù)
為分段函數(shù)，當(dāng)
時，結(jié)合函數(shù)
的對稱軸求出單調(diào)區(qū)間，
時類似求出單調(diào)區(qū)間．
（3）結(jié)合（2）中函數(shù)的單調(diào)性可研究在
上的零點個數(shù)．注意零點存在定理的應(yīng)用．
（1）因為
圖象過坐標原點，所以，即
，
又，所以其對稱軸是
，即
，
，
又方程為
，即
有兩個相等實根，所以
，
，
所以．
（2）
，
①當(dāng)時，的對稱軸是
，
若
，即
時，在
上單調(diào)遞增，
若
，即
時，在
上單調(diào)遞增，在
上遞減，
②當(dāng)時，
的對稱軸是
，
則函數(shù)在
上遞減，在
上遞增，
綜上所述，當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為
；時，減區(qū)間為
，，增區(qū)間為，．
（3）①當(dāng)時，由（2）知在上單調(diào)遞增，
又
，
，故函數(shù)在上只有一個零點；
②時，則
，，
，
，
（i）當(dāng)
時，
，
且
，此時在上只有一個零點，
（ii）當(dāng)
時，
且
，此時在上有兩個不同零點．
綜上所述，當(dāng)
時，在上只有一個零點，時，在上有兩個不同零點．
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
過點
且離心率為
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在過點
的直線
與橢圓C相交于A，B兩點，且滿足
．若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在P地正西方向8km的A處和正東方向1km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD，現(xiàn)計劃在AC和BD路邊各修建一個物流中心E和F，為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF，設(shè)
Ⅰ
為減少對周邊區(qū)域的影響，試確定E，F的位置，使
與
的面積之和最小；
Ⅱ為節(jié)省建設(shè)成本，求使
的值最小時AE和BF的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系
中，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）求和的直角坐標方程；
（Ⅱ）若曲線截直線所得線段的中點坐標為
，求的斜率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】等腰三角形ABC腰長為3，底邊BC長為4，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為2，此時四面體ABCD外接球表面積為____.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知向量
，
函數(shù)
.
（1）將函數(shù)
的圖像向右平移m（
）個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，寫出m的最小值（不要求寫過程）；
（2）若
，
，求
的值；
（3）若函數(shù)
（
）在區(qū)間
上是單調(diào)遞增函數(shù)，求正數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了調(diào)查一款電視機的使用時間，研究人員對該款電視機進行了相應(yīng)的測試，將得到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示：
并對不同年齡層的市民對這款電視機的購買意愿作出調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：
（1）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，試估計該款電視機的平均使用時間；
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99．9％的把握認為“愿意購買該款電視機”與“市民的年齡”有關(guān)；
（3）若按照電視機的使用時間進行分層抽樣，從使用時間在[0，4）和[4，20]的電視機中抽取5臺，再從這5臺中隨機抽取2臺進行配件檢測，求被抽取的2臺電視機的使用時間都在[4，20]內(nèi)的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足
，
=1，數(shù)列{
}滿足
=﹣1， 
（
），其中
是數(shù)列{}的前n項和，則
=
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知二次函數(shù)
滿足條件
是偶函數(shù)， 
，且
的圖象與直線
恰有一個公共點.
（1）求的解析式；
（2）設(shè)
，是否存在實數(shù)
，使得函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值為2？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.
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