Question

【題目】已知橢圓：()的離心率，以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）是否存在斜率為2的直線，使得當(dāng)直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，時，能在直線上找到一點(diǎn)，在橢圓上找到一點(diǎn)，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）橢圓上不存在這樣的點(diǎn)，理由見解析

【解析】

（1）利用離心率、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓與直線相切，列出方程組，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，的中點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到D為線段MN的中點(diǎn)，即D為線段PQ的中點(diǎn)，即可求解.

（1）由橢圓：()的離心率，得，可得.

上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，

可得以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為與直線相切，所以，即，解得，

所以，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）橢圓上不存在這樣的點(diǎn)，理由如下：

設(shè)直線的方程為，

設(shè)，，，，的中點(diǎn)為，

由消去，得，

所以，且，故，且，

由，得，

所以有，.

(也可由知四邊形為平行四邊形，而為線段的中點(diǎn)，

因此也為線段的中點(diǎn)，所以，可得）

又，所以，

與橢圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是矛盾，故橢圓上不存在這樣的點(diǎn).