Question

【題目】一家商場銷售一種商品，該商品一天的需求量在范圍內等可能取值，該商品的進貨量也在范圍內取值（每天進貨1次）.這家商場每銷售一件該商品可獲利60元；若供不應求，可從其他商店調撥，銷售一件該商品可獲利40元；若供大于求，剩余的每處理一件該商品虧損20元.設該商品每天的需求量為，每天的進貨量為件，該商場銷售該商品的日利潤為元.

（1）寫出這家商場銷售該商品的日利潤為關于需求量的函數表達式；

（2）寫出供大于求，銷售件商品時，日利潤的分布列；

（3）當進貨量多大時，該商場銷售該商品的日利潤的期望值最大？并求出日利潤的期望值的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）分布列見解析；（3）或，

【解析】

（1）根據題意，該商品每天的需求量為，進貨量為，分段求出和時，利潤為關于需求量的函數表達式；

（2）當供大于應求時，每種情況的概率都為，即可求出日利潤為的分布列；

（3）分別求出日利潤，得出的分布列，即可求出日利潤的數學期望，根據二次函數的性質，可知或是日利潤的期望值最大，即可求出期望值的最大值.

解：（1）因為該商品每天的需求量為，進貨量為，

該量販銷售該商品的日利潤為關于需求量的函數表達式為：

，

化簡得：，

（2）供大于應求時，日利潤為的分布列：

			.		.

（3）日利潤為的分布列：

的數學期望為：

，

當數學期望值最大，

但為自然數，經驗證或，.