Question

【題目】已知函數（為實常數）．

（1）求函數的單調區間；

（2）若存在兩個不相等的正數、滿足，求證：．

Answer 1

【答案】（1）當時的單調遞增區間為；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為

（2）證明見解析

【解析】

（1）求得，分和兩種情況討論，即可求解；

（2）由（1）可得當時，由兩個不相等的正數、滿足，不妨設，得出，結合單調性，即可求解．

（1）由題意，函數的定義域為，且，

①當時，恒有，故在上單調遞增；

②當時，由得，故在上單調遞增，在上單調遞減；

綜上①②可知當時的單調遞增區間為；

當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

（2）由（1）知時在上單調遞增，

若，則，不合題意，

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，

若存在兩個不相等的正數、滿足，

則、必有一個在上，另一個在上，

不妨設，則，即，

令，

則，當且僅當是取等號，

當時，，單調遞增，且，

所以時，，即，

所以，

因為，所以，

又因為在上單調遞減，所以，即．