Question

【題目】如圖，在四棱錐中，是邊長為的正三角形，為棱的中點.

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)若平面平面，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ) 二面角的余弦值為.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由面面平行判定定理證明平面//平面即可；(Ⅱ)先證平面，且，連接，分別取所在直線為軸建立空間直角坐標系，求出相關點坐及平面的法向量，平面的法向量，利用向量夾角公式可求二面角的余弦值.

試題解析：(Ⅰ)取中點，連接，∴，∵面，面，∴面，∴平面//平面，∵平面，∴平面.

（Ⅱ）∵，∵平面⊥平面，交線為，∴平面，且，連接，分別取所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則點，設平面的法向量為，則，∴，即，設平面的法向量為， ，∴，因此所求二面角的余弦值為.