Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，其兩個頂點和兩個焦點構成的四邊形面積為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且點M恰為線段AB的中點，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線l的方程為

【解析】

（1）根據橢圓的幾何性質求得，；

（2）聯立直線與橢圓，由根與系數關系得到兩根之和，再根據中點公式列式可求得斜率k，從而求得直線l的方程．

解：（1）橢圓C的離心率為，，

，即

橢圓C的兩個頂點和兩個焦點構成的四邊形面積為，

，，從而得，

橢圓C的方程為；

（2）顯然，直線l的斜率存在，設該斜率k，

直線l的方程為，即，

直線l的方程與橢圓C的方程聯立，消去y得：

且該方程顯然有二不等根，

記A，B兩點的坐標依次為，，

，即，

，解得，

所求直線l的方程為．