Question

【題目】在長方體中，，，、分別是所在棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，．如圖所示．

（1）求異面直線，所成角的大小（用反三角函數(shù)值表示）；

（2）（理科）求以、、、為頂點(diǎn)的三棱錐的體積．

（文科）求以、、、為頂點(diǎn)的三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】(1) .(2)（理科）2；（文科）2.

【解析】

（1）以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出異面直線、所成角.

（2）（理科）由,,求出,由此能求出以、、、為頂點(diǎn)的三棱錐的體積.

（2）（文科）由,能求出以、、、為頂點(diǎn)的三棱錐的體積.

（1）以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,

建立空間直角坐標(biāo)系,

由題意得,,

,,

,,

設(shè)異面直線、所成角為,

則

,

∴.

（2）（理科）∵,,

∴,,

,

∴,

∴,

∴以、、、為頂點(diǎn)的三棱錐的體積：

.

（2）（文科）∵,

∴以、、、為頂點(diǎn)的三棱錐的體積：

.