Question

已知橢圓C的中心在原點，一個焦點與拋物線x²=4

2

y的焦點相同，點P（1，

2

）是橢圓C是一點，斜率為

2

的直線l交橢圓C于M，N兩點，且P，M，N三點不重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線PM、PN的斜率分別為k_PM、k_PN，求證：k_PM+k_PN=0；
（Ⅲ）△PMN的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設橢圓C的方程為：

x2

b2

+

y2

a2

=1，a＞b＞0，由已知得

2 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=

2

x+m，由

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能證明k_PM+k_PN=0．
（Ⅲ）由已知得P到直線l的距離d=

| 2 - 2 +m|

1+( 2 )2

=

|m|

3

，|MN|=

|m|

3

=

3

•

64-8m2

4

=

6

2

•

8-m2

，由此能求出當m=±2時，△PMN的面積最大值為

2

．

解答： （Ⅰ）解：∵拋物線x2=4

2

y的焦點為（0，

2

），
∴設橢圓C的方程為：

x2

b2

+

y2

a2

=1，a＞b＞0，
∵點P（1，

2

）是橢圓C是一點，橢圓C的中心在原點，
一個焦點與拋物線x²=4

2

y的焦點相同，
∴

2 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+2

，解得a²=4，b²=2，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）證明：設直線l的方程為y=

2

x+m，
由

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=-8m²+64＞0，得

2

＜m＜2

2

，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

，
k_PM+k_PN=

y1- 2

x1-1

+

y2- 2

x2-1

=

2 x1+m- 2

x1-1

+

2 x2+m- 2

x2-1

=

2 (x1-1)+m

x1-1

+

2 (x2-1)+m

x2-1

=2

2

+m•

x1+x2-2

x1x2-(x1+x2)+1

=2

2

+m•

- 2 2 m-2

m2-4 4 + 2 2 m+1

=2

2

-

2 2 m+8

m+2 2

=0．
∴k_PM+k_PN=0．
（Ⅲ）解：∵P到直線l的距離d=

| 2 - 2 +m|

1+( 2 )2

=

|m|

3

，
又|MN|=

1+( 2 )2

•|x₁-x₂|=

3

•

64-8m2

1+( 2 )2

=

|m|

3

，
又|MN|=

1+( 2 )2

•|x1-x2|
=

3

•

64-8m2

4

=

6

2

•

8-m2

，
∴S△FMN=

1

2

|MN|•d=

2

4

•

(8-m2)•m2

≤

2

，
當且僅當8-m²=m²，即m=±2時取等號，
∵±2∈(-2

2

，2

2

)，
∴當m=±2時，△PMN的面積最大，最大值為

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的斜率之和為0的證明，考查三角形面積最大值的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．