Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，直線PB與平面ABCD所成角為

π

4

，AB=2，BC=4，E是PD的中點．
（Ⅰ）求證：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的正切值；
（Ⅲ）求多面體PABCE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結BD交AC于O點，連結OE，利用矩形的性質和三角形中位線定理可得PB∥OE，再用線面平行判定定理即可證出PB∥平面ACE；
（II）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．GH⊥AC于H，連接EH，進而可推斷出EG⊥平面ABCD．EH⊥AC，進而可知∠EHG即為二面角θ的平面角．進而根據E是PD的中點，從而G是AD的中點，分別求得EG和GH，進而可得二面角E-AC-D的正切值；
（Ⅲ）多面體PABCE的體積為V_P-ABCD-V_E-ACD．

解答： （Ⅰ）證明：連結BD交AC于O點，連結OE
∵四邊形ABCD為矩形，∴O為BD的中點
可得在△PBD中，OE是中位線，∴PB∥OE
∵PB?平面ACE，OE?平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
（II）解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．
知EG⊥平面ABCD．
作GH⊥AC于H，連接EH，則EH⊥AC，
∴∠EHG即為二面角θ的平面角．
∵直線PB與平面ABCD所成角為

π

4

，AB=2，
∴PA=2，∴EG=1，
∵BC=4，∴AG=2，
∴GH=

5

5

，
∴tan∠EHG=

EG

GH

=

5

；
（Ⅲ）解：利用多面體PABCE的體積為長方體的體積減去三棱錐E-ACD的體積，可得多面體PABCE的體積
∵三棱錐E-ACD的底面三角形ADC中，AD=2，CD=1，高為1，
∴多面體PABCE的體積為V_P-ABCD-V_E-ACD=

1

3

×2×1×1-

1

3

×

1

2

×2×1×

1

2

=

1

2

．

點評：本題在四棱錐中證明線面平行，并求直線與平面所成角大�。�著重考查了線面平行判定定理、直線與平面所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題．