Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 滿足Sn=2an﹣1，n∈N*．數列{bn}滿足nbn+1﹣（n+1）bn=n（n+1），n∈N*，且b1=1．
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）若cn=an ，數列{cn}的前n項和為Tn ， 對任意的n∈N*，都有Tn＜nSn﹣a，求實數a的取值范圍；
（3）是否存在正整數m，n使b1 ， am ， bn（n＞1）成等差數列，若存在，求出所有滿足條件的m，n，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，S1=2a1﹣1=a1，所以a1=1．

當n≥2時，Sn=2an﹣1，Sn﹣1=2an﹣1﹣1，

兩式相減得an=2an﹣1，

從而數列{an}為首項a1=1，公比q=2的等比數列，

從而數列{an}的通項公式為an=2n﹣1．

由nbn+1﹣（n+1）bn=n（n+1），兩邊同除以n（n+1），

得 ﹣ =1，

從而數列{ }為首項b1=1，公差d=1的等差數列，所以 =n，

從而數列{bn}的通項公式為bn=n2

（2）解：由（1）得cn=an =n2n﹣1，

于是Tn=1×1+2×2+3×22+…+（n﹣1）2n﹣2+n2n﹣1，

所以2Tn=1×21+2×22+3×23+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n，

兩式相減得﹣Tn=1+21+22+23+…+2n﹣1﹣n2n= ﹣n×2n，

所以Tn=（n﹣1）2n+1

由（1）得Sn=2an﹣1=2n﹣1，

因為任意的n∈N*，都有Tn＜nSn﹣a，

即（n﹣1）2n+1＜n（2n﹣1）﹣a恒成立，

所以a＜2n﹣n﹣1恒成立，

記cn=2n﹣n﹣1，

所以a＜（cn）min，

因為 =2n﹣1＞0，

從而數列{cn}為遞增數列，所以當n=1時cn取最小值c1=0，

于是a＜0

（3）解：假設存在正整數m，n（n＞1），使b1，am，bn成等差數列，則b1+bn=2am，

即1+n2=2m，

若n為偶數，則1+n2為奇數，而2m為偶數，上式不成立．

若n為奇數，設n=2k﹣1（k∈N*），則1+n2=1+（2k﹣1）2=4k2﹣4k+2=2m，

于是2k2﹣2k+1=2m﹣1，即2（k2﹣k）+1=2m﹣1，

當m=1時，k=1，此時n=2k﹣1=1與n＞1矛盾；

當m≥2時，上式左邊為奇數，右邊為偶數，顯然不成立．

綜上所述，滿足條件的實數對（m，n）不存在

【解析】（1）根據Sn、與 an 的關系可求出數列的通項公式，利用已知整理可得數列{ }時首項b1=1，公差d=1的等差數列，進而得出數列{bn}的通項公式。（2）根據題意利用乘以公比列項相減可得到Tn=（n﹣1）2n+1，再根據已知得到（n﹣1）2n+1＜n（2n﹣1）﹣a恒成立即a＜2n﹣n﹣1恒成立，證明得到數列{cn}為遞增數列，所以當n=1時cn取最小值c1=0，得到a的取值范圍。（3）假設存在根據題意判斷得到若n為偶數上式不成立，若n為奇數即2（k2﹣k）+1=2m﹣1，對此式子進行分析得到均不成立，故滿足條件的實數對（m，n）不存在。