Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+（m-1）x-2m-1（m∈R），
（1）設(shè)x₁，x₂為方程f（x）=0的兩實(shí)根，求g（m）=x₁²+x₂²的最小值；
（2）是否存在正數(shù)a和常數(shù)m，使得x∈[0，a]時(shí)，f（x）的值域也為[0，a]？若有，求出所有a和m的值；若沒有，也請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）判斷方程有兩個(gè)根時(shí)m的范圍，通過韋達(dá)定理得到g（m）=x₁²+x₂²的表達(dá)式，然后求解最小值；
（2）存在正數(shù)a和常數(shù)m，使得x∈[0，a]時(shí)，f（x）的值域也為[0，a]，利用二次函數(shù)單調(diào)性，通過分類討論求出所有a和m的值．

解答：解：（1）△=（m-1）²+4（2m+1）≥0⇒m∈（-∞，-5]∪[-1，+∞） …（2分）
g(x)=x12+x22=m2+2m+3=（m+1）²+2
故m=-1時(shí)，g（x）_min=2．…（5分）
（2）假設(shè)存在正數(shù)a和常數(shù)m滿足題意，則f（x）_min=0．
①若f（0）=0，則m=-

1

2

，此時(shí)f（x）=x²-

3

2

x
當(dāng)x∈(0，

3

2

)時(shí)，f（x）＜0，不符題意，舍；…（2分）
②若f（a）=0，則f（0）=a，a=-2m-1
所以f（a）=（-2m-1）2+（m-1）（-2m-1）-2m-1=0，
得m=-

1

2

（舍）或m=-1，a=1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；  …（4分）
③若f(

1-m

2

)=0，則m²+6m+5=0⇒m=-1（符合題意）或m=-5
當(dāng)m=-5時(shí)，f（x）=（x-3）²，x∈[0，a]上的值域?yàn)閇0，a]．
因?yàn)閒（0）=9，故

a≥9 f(a)=a

無實(shí)數(shù)解；  …（6分）
綜上知，僅當(dāng)a=1，m=-1時(shí)滿足題意．…（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，分類討論思想的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．