Question

【題目】已知f（x）=ax+ ，g（x）=ex﹣3ax，a＞0，若對x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）總有解，則實數a的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】[ ,+∞）
【解析】解：當x∈（0，1）時，f（x）=ax+ 為減函數，

由f（1）=2a得：f（x）的值域為（2a，+∞），

若若對x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）總有解，

則g（x）的值域B應滿足（2a，+∞）B，

令g′（x）=ex﹣3a=0，則ex=3a，即x=ln3a，

若ln3a≤1，即3a≤e，

此時g（x）＞g（1）=e﹣3a，

此時由e﹣3a≤2a得： ≤a≤ ，

若ln3a＞1，即3a＞e，

g（x）在（1，ln3a）上為減函數，在（ln3a，+∞）上為增函數，

此時當x=ln3a時，函數取最小值3a（1﹣ln3a）＜0＜2a滿足條件；

綜上可得：實數a的取值范圍為[ ，+∞）

所以答案是：[ ，+∞）．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．