Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足Sn=2an﹣2；數列{bn}的前n項和為Tn ， 且滿足b1=1，b2=2， ．
（1）求數列{an}、{bn}的通項公式；
（2）是否存在正整數n，使得 恰為數列{bn}中的一項？若存在，求所有滿足要求的bn；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Sn=2an﹣2，則當n≥2時，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，

兩式相減得：an=2an﹣2an﹣1，則an=2an﹣1，

由S1=2a1﹣2，則a1=2，

∴數列{an}是以2為首項，2為公比的等比數列，則an=2n，

由 ．

則 = ， = ， = ，， = ． =

以上各式相乘， = ，則2Tn=bnbn+1，

當n≥2時，2Tn﹣1=bn﹣1bn，兩式相減得：2bn=bn（bn+1﹣bn﹣1），即bn+1﹣bn﹣1=2，

∴數列{bn}的奇數項，偶數項分別成等差數列，

由 = ，則b3=T2=b1+b2=3，b1+b3=2b2，

∴數列{bn}是以b1=1為首項，1為公差的等差數列，

∴數列{bn}的通項公式bn=n；

（2）當n=1時， 無意義，

設cn= = ，（n≥2，n∈N*），

則cn+1﹣cn= ﹣ = ＜0，

即cn＞cn+1＞1，

顯然2n+n+1＞2n﹣（n+1），則c2=7＞c3=3＞c4＞＞1，

∴存在n=2，使得b7=c2，b3=c3，

下面證明不存在c2=2，否則，cn= =2，即2n=3（n+1），

此時右邊為3的倍數，而2n不可能是3的倍數，故該不等式成立，

綜上，滿足要求的bn為b3，b7．

【解析】（1）當n≥2時，Sn=2an﹣2，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，由an=Sn-Sn-1可得an=2an﹣2an﹣1，則數列{an}是以2為首項，2為公比的等比數列，則an=2n由=,使用累乘法可得到2Tn=bnbn+1，由bn=Tn-Tn-1可得bn+1﹣bn﹣1=2，數列{bn}的奇數項，偶數項分別成等差數列，數列{bn}的通項公式bn=n，（2）設cn= ,作差比較大小，cn＞cn+1＞1，根據數列的單調性，即可求得存在存在n=2，使得b7=c2，b3=c3.
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．