Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，△ABC為正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC與平面ABCD所成角為45°
（1）若E為PC的中點，求證：PD⊥平面ABE；
（2）若CD= ，求點B到平面PCD的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE平面PAC，∴CD⊥AE．

∵PC與平面ABCD所成角為45°

∴AC=PA，

∵E是PC的中點，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，

而PD平面PCD，∴AE⊥PD．

∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，

由面面垂直的性質定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，

又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．

（2）解：CD= ，可得AC=3，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴PC=3 ，

由（1）的證明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，

∵AB⊥AD，△ABC為正三角形，∴∠CAD=30°，

∵AC⊥CD，∴CD=ACtan30°= ．

設點B的平面PCD的距離為d，則VB﹣PCD= × ×3 × ×d= d．

在△BCD中，∠BCD=150°，∴S△BCD= ×3× sin150°= ．

∴VP﹣BCD= × ×3= ，

∵VB﹣PCD=VP﹣BCD，∴ d= ，解得d= ，

即點B到平面PCD的距離為 ．

【解析】（1）利用線面垂直的判定與性質定理可得CD⊥平面PAC，CD⊥AE．利用等腰三角形的性質與線面垂直的判定定理可得：AE⊥平面PCD，可得AE⊥PD．利用面面垂直的性質定理與線面垂直的判定定理可得AB⊥PD，進而證明結論．（2）設點B的平面PCD的距離為d，利用VB﹣PCD=VP﹣BCD即可得出．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．