Question

【題目】已知O為坐標原點，過點M（1，0）的直線l與拋物線C：y2＝2px（p＞0）交于A，B兩點，且.

（1）求拋物線C的方程；

（2）過點M作直線l'⊥l交拋物線C于兩點，記△OAB，△OPQ的面積分別為S1，S2，證明：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）設直線的方程為，與拋物線的方程聯立消去得關于的方程，利用根于系數的關系表示，從而求得的值；

（2）由題意求出弦長以及原點到直線的距離，計算△OAB的面積，同理求出△OPQ的面積，再求的值.

（1）解：設直線l的方程為：x＝my+1，

與拋物線C：y2＝2px（p＞0）聯立，消去x得：

y2﹣2pmy﹣2p＝0；

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則y1+y2＝2pm，y1y2═﹣2p；

由，得

x1x2+y1y2＝（my1+1）（my2+1）+y1y2

＝（1+m2）y1y2+（y1+y2）m+1

＝（1+m2）（﹣2p）+2pm2+1

＝﹣2p+1＝﹣3，

解得p＝2，

∴拋物線C的方程為y2＝4x；

（2）證明：由（1）知，點M（1，0）是拋物線C的焦點，

所以|AB|＝x1+x2+p＝my1+my2+2+p＝4m2+4，

又原點到直線l的距離為d，

所以△OAB的面積為S14（m2+1）＝2，

又直線l′過點M，且l'⊥l，

所以△OPQ的面積為S2＝22；

所以，

即為定值.