Question

【題目】如圖，在四邊形ABED中，AB//DE，ABBE，點C在AB上，且ABCD，AC=BC=CD=2，現將△ACD沿CD折起，使點A到達點P的位置，且PE.

（1）求證：平面PBC 平面DEBC；

（2）求三棱錐P-EBC的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）根據折疊前后關系得PC⊥CD，根據平幾知識得BE//CD，即得PC⊥BE，再利用線面垂直判定定理得EB⊥平面PBC，最后根據面面垂直判定定理得結論，（2）先根據線面垂直EB⊥平面PBC得高，再根據等積法以及三棱錐體積公式得結果.

（1）證明：∵AB⊥BE，AB⊥CD，∴BE//CD，

∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴PC⊥BE，

又BC⊥BE，PC∩BC=C，

∴EB⊥平面PBC，

又∵EB平面DEBC，∴平面PBC 平面DEBC；

（2）解法1：∵AB//DE，結合CD//EB 得BE=CD=2，

由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE得,

∴△PBC為等邊三角形， ∴,

∴ .

解法2：∵AB//DE，結合CD//EB 得BE=CD=2，

由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE，

得, ∴△PBC為等邊三角形，

取BC的中點O，連結OP，則,∵PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，

∴ .