Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形是正方形，是正三角形，， ，.

（1）求證：平面；

（2）求多面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）取的中點，證明四邊形為平行四邊形，可得，從而可得面，再證明面，利用面面平行的判定，可得平面平面，從而可得平面；（2）先證明平面，于是多面體是由直三棱柱和四棱錐組成的，即可得出結論．

試題解析：證明：（1）取中點，連，

∵，

∴四邊形，是平行四邊形，

∴，，

在正方形中，，∴，

∴四邊形為平行四邊，∴，

∵，∴平面平面，

又平面，∴平面

（2）在正方形中，，又是等邊三角形，所以,

所以，，

于是，，又，∴平面，∴，

又，，∴平面，

于是多面體是由直三棱柱和四棱錐組成.

又直三棱柱的體積為，

四棱錐的體積為，

故多面體的體積為.