Question

【題目】已知數列的各項均為正數，，其前項和為，且當時，、、構成等差數列.

（1）求數列的通項公式；

（2）若數列滿足，數列的前項和為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析

【解析】

（1）首先由構成等差數列得到與的關系式，然后利用得到與的關系式，從而證明數列為等差數列，最后求解通項公式；

（2）利用等差數列的前項和公式求出，進而得到表達式，利用對數函數的性質求．

（1）由已知得，當時，構成等差數列，所以，

所以當時，，

兩式相減得，

所以，即，

又的各項均為正數，所以，故．

又，即，所以，

從而，

故數列是公差為的等差數列，而，所以；

（2）由（1）知，，

所以，

所以．

當為奇數時，，顯然成立；

當為偶數時，，需證．

令，則，

所以在上單調遞減，所以，當且僅當時等號成立，

故當為偶數時，．

綜上，．