Question

【題目】設函數.

（1）求的單調區間；

（2）若對于任意，都有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的單調遞減區間是，單調遞增區間是 (2)

【解析】

（1）對函數求導，由導函數的正負得到原函數的單調區間；

（2）由第一問確定出函數在給定區間上的單調性，之后將任意的，恒成立轉化為 ，即，

再構造新函數，求導得到其單調性，結合其性質，求得最后的結果.

（1）因為，所以，

所以當時，；

當時，．

所以的單調遞減區間是，單調遞增區間是．

（2）由（1）知，在上單調遞減，在上單調遞增，

故在處取得最小值，且．

所以對于任意的，的充要條件為

，即 ①

設函數，則．

當時，；當時，，

故在上單調遞減，在上單調遞增．

又，，，

所以當時，，即①式成立，

綜上所述，的取值范圍是．