Question

【題目】已知正項數列{an}的前n項和Sn滿足2Sn＝an+2﹣2，n∈N*.

（1）若數列{an}為等比數列，求數列{an}的公比q的值.

（2）若a2＝a1＝1，bn＝an+an+1，求數列{bn}的通項公式.

Answer 1

【答案】（1）q＝2（2）

【解析】

（1）由數列為等比數列，再由，可得到等比數列的公比；

（2）由題意可得，再利用，可得數列為等比數列，進而可得通項公式.

（1）根據題意，數列{an}滿足2Sn＝an+2﹣2，①，

則有2Sn﹣1＝an+1﹣2，②

①﹣②可得：2an＝an+2﹣an+1，

又由數列{an}為等比數列，則有2＝q2﹣q，

解可得：q＝2或﹣1，

又由q＞0，則q＝2；

（2）數列{an}滿足2Sn＝an+2﹣2，

當n＝1時，有a3＝2S1+2＝4，

當n≥2時，由（1）的結論，2an＝an+2﹣an+1，變形可得：2（an+1+an）＝an+2+an+1，

即2bn＝bn+1，

又由b1＝a1+a2＝2，

b2＝a2+a3＝1+4＝5.

∴數列{bn}從第二項起是以5為首項，2為公比的等比數列.

∴.