Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．
（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M﹣BQ﹣C為30°，設PM=tMC，試確定t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證法一：∵AD∥BC，BC= AD，Q為AD的中點，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

證法二：AD∥BC，BC= AD，Q為AD的中點，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．

∵PA=PD，∴PQ⊥AD．

∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．

∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD

（2）解：∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．

則平面BQC的法向量為 ；

Q（0，0，0）， ， ， ．

設M（x，y，z），則 ， ，

∵ ，

∴ ，∴

在平面MBQ中， ， ，

∴平面MBQ法向量為 ．

∵二面角M﹣BQ﹣C為30°，

∴ ，

∴t=3．

【解析】（1）法一：由AD∥BC，BC= AD，Q為AD的中點，知四邊形BCDQ為平行四邊形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能夠證明平面PQB⊥平面PAD． 法二：由AD∥BC，BC= AD，Q為AD的中點，知四邊形BCDQ為平行四邊形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此證明平面PQB⊥平面PAD．（2）由PA=PD，Q為AD的中點，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q為原點建立空間直角坐標系，利用向量法能夠求出t=3．
【考點精析】掌握平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．