Question

設函數f（x）=x²+2x+a．若方程f（f（x））=0有且只有兩個不同的實根，則實數a的取值范圍為（　　）

• A、

  -1- 5

  2

  ＜a＜

  -1+ 5

  2

• B、

  3- 13

  2

  ＜a＜

  3+ 13

  2

• C、

  3- 7

  2

  ＜a＜

  3+ 7

  2

• D、

  -1- 3

  2

  ＜a＜

  -1+ 3

  2

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：對該題應用分類討論思想分以下三種情況：①若f（x）無實根，即a＞1，則不合題意．②若f（x）有兩個相等的實數根，此時a=1由f（f（x））=0得：f（x）=-1，不合題意故舍去．③若f（x）有兩個不相等的實數根，也即a＜1，設f（x）=0的實根為：x₁和x₂，則：方程f（x）=x₁或f（x）=x₂有兩個不等實根．進一步可知：方程f（x）=x₁和（x）=x₂有且僅有一個方程有兩個不等實根．即：x²+2x+a-x₁=0和x²+2x+a-x₂=0中一個方程有實根另一個方程無實根．又由于x1，2=-1±

1-a

，可得：a-(-1-

1-a

)＞1且a-(-1+

1-a

)＜1，利用換元法，設t=

1-a

，進一步解得：

-1+ 5

2

＜t＜

1+ 5

2

，因而：

-1- 5

2

＜a＜

-1+ 5

2

．

解答： 解：函數f（x）=x²+2x+a 
若方程f（f（x））=0有且只有兩個不同的實根
①若f（x）無實根，即a＞1，則不合題意．
②若f（x）有兩個相等的實數根，此時a=1由f（f（x））=0得：f（x）=-1，不合題意故舍去．
③若f（x）有兩個不相等的實數根，也即a＜1，設f（x）=0的實根為：x₁和x₂，則：方程f（x）=x₁或f（x）=x₂有兩個不等實根．進一步可知：方程f（x）=x₁和（x）=x₂有且僅有一個方程有兩個不等實根．
即：x²+2x+a-x₁=0和x²+2x+a-x₂=0中一個方程有實根另一個方程無實根．
又由于x1，2=-1±

1-a

可得：a-(-1-

1-a

)＞1且a-(-1+

1-a

)＜1
設t=

1-a

進一步解得：

-1+ 5

2

＜t＜

1+ 5

2

因而：

-1- 5

2

＜a＜

-1+ 5

2

故選：A

點評：本題考查的知識要點：用公式法解一元二次方程，換元法的應用，分類討論思想在做題中的應用．