Question

已知數列{a_n}的前項和為S_n，滿足a_n+S_n=2n
（Ⅰ）求證：數列{a_n-2}是等比數列
（Ⅱ）若不等式2λ-λ²＞（2n-3）（2-a_n）對任意的正整數恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由遞推式求出首項，結合已知遞推式得到另一遞推式，作差后得到數列{a_n-2}是等比數列；
（Ⅱ）設出數列b_n=（2n-3）（2-a_n），由數列{a_n-2}是等比數列求出a_n，代入b_n=（2n-3）（2-a_n）作差分析數列{b_n}的單調性，求出b_n的最大值，代入2λ-λ²＞（2n-3）（2-a_n）求解得答案．

解答： （Ⅰ）證明：由a_n+S_n=2n，得a₁+S₁=2a₁=2，即a₁=1．
由a_n+S_n=2n，可得a_n+1+S_n+1=2（n+1），
兩式相減得2a_n+1-a_n=2．
∴an+1-2=

1

2

(an-2)．
∴數列{a_n-2}是首項為a₁-2=-1，公比為

1

2

的等比數列；
（Ⅱ）解：由{a_n-2}是首項為-1，公比為

1

2

的等比數列，得
an-2=-(

1

2

)n-1，則an=2-(

1

2

)n-1．
設b_n=（2n-3）（2-a_n），
代入a_n得bn=(2n-3)•(

1

2

)n-1．
bn+1-bn=

5-2n

2

•(

1

2

)n-1，
當n≤2時，b_n+1≥b_n；
當n≥3時，b_n+1＜b_n．
∴2λ-λ²＞（2n-3）（2-a_n）恒成立等價于2λ-λ2＞b3=

3

4

．
解得

1

2

＜λ＜

3

2

．
∴實數λ的取值范圍是(

1

2

，

3

2

)．

點評：本題是數列與不等式的綜合題，考查了等比關系的確定，考查了數列的函數特性，考查了不等式的解法，是中檔題．