Question

已知函數f（x）=lnx-

ax2

2

+（a-1）x-

3

2a

，其中a＞-1且a≠0．
（Ⅰ）當a＞0時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）有兩個相異的零點x₁，x₂，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,復合函數的單調性,根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求得f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

(x-1)(-ax-1)

x

，有-ax-1＜0，從而當x∈（0，1）時，f′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，即可得到f（x）的單調區間；
（Ⅱ）①當a＞0時，要使f（x）在（0，+∞）上有兩個相異零點，則只需f（1）＞0，解得a＞3；當-1＜a＜0時，要使得f（x）在（0，+∞）上有兩個相異零點，而關于a的方程無解，故實數a的范圍為（3，+∞）．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知，函數f（x）的定義域為（0，+∞），
且f′（x）=

1

x

-ax+（a-1）=

-ax2+(a-1)x+1

x

=

(x-1)(-ax-1)

x

．
由于a＞0，x＞0，故-ax-1＜0
從而當x∈（0，1）時，f′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，1]上單調遞增，在[1，+∞）上單調遞減．
從而f（x）的單調遞增區間為（0，1]，單調遞減區間為[1，+∞）．
（Ⅱ）f′（x）=

(x-1)(-ax-1)

x

，x＞0，
①當a＞0時，由（Ⅰ）得，f（x）在（0，1]上單調遞增，在[1，+∞）上為減函數，
考慮到當x趨于0時，f（x）趨于-∞，f（2）=ln2-2-

3

2a

＜0，
故要使f（x）在（0，+∞）上有兩個相異零點，則只需f（1）＞0，
即f（1）=

a2-2a-3

2a

=

(a-3)(a+1)

2a

＞0，
解得a＞3．
②當-1＜a＜0時，
故當x∈（0，1]∪[-

1

a

，+∞）時f′（x）≥0，當x∈[1，-

1

a

]時f′（x）≤0，
故f（x）在（0，1]上為增函數，在[1，-

1

a

]上為減函數，在[-

1

a

，+∞）上為增函數．
考慮到當x趨于0時，f（x）趨于-∞，當x趨于+∞時，f（x）趨于+∞，
f（1）=

a2-2a-3

2a

=

(a-3)(a+1)

2a

＞0，
從而f（x）在（0，1）內有且僅有一個零點，
要使得f（x）在（0，+∞）上有兩個相異零點，則f（-

1

a

）=ln（-

1

a

）-

1

a

-1=0，又-

1

a

∈（1，+∞），
故ln（-

1

a

）-

1

a

-1＞ln1+1-1=0，從而上述關于a的方程無解．
綜上，實數a的范圍為（3，+∞）．

點評：本題主要考察了利用導數研究函數的單調性，復合函數的單調性，根的存在性及根的個數判斷等知識，屬于中檔題．