Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+ax²+bx（a，b∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f（1）=

1

3

，且函數f（x）在（0，

1

2

）上不存在極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：函數的性質及應用

分析：（1）把a=1代入f（x）=

1

3

x3+x2+bx，求導得f′（x）=x²+2x+b，分△=4-4b≤0，與△=4-4b＞0兩種情況討論得出單調區(qū)間；
（2）令f′（x）=0得x²+2ax-a=0進一步得函數a=

x2

1-2x

，令t=1-2x，則t∈（0，1），故a=

x2

1-2x

=

1

4

(t+

1

t

-2)，求出a的范圍，得答案．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=

1

3

x3+x2+bx，∴f′（x）=x²+2x+b，
①若△=4-4b≤0，即b≥1 時，f′（x）=x²+2x+b≥0
所以f（x）為 R上的增函數，所以f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）；
②若△=4-4b＞0，即b＜1時，f'（x）=(x+1+

1-b

)(x+1-

1-b

)，
由f′（x）＞0得x＜-1-

1-b

，或x＞-1+

1-b

所以f（x） 在（-∞，-1-

1-b

）與（-1+

1-b

，+∞）上為增函數，
在（-1-

1-b

，-1+

1-b

） 上為減函數．   
所以f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1-

1-b

）與（-1+

1-b

，+∞）；減區(qū)間為（-1-

1-b

，-1+

1-b

）上．
（2）由f(1)=

1

3

，得b=-a，
即f（x）=

1

3

x3+ax2-ax，∴f′（x）=x²+2ax-a．
令f′（x）=0得x²+2ax-a=0，∴（1-2x）a=x²，
∵0＜x＜

1

2

，∴1-2x≠0，∴a=

x2

1-2x

，
令t=1-2x，則t∈（0，1），∴a=

x2

1-2x

=

1

4

(t+

1

t

-2)，
∵h(t)=t+

1

t

-2在t∈（0，1）上單調遞減，故h（t）∈（0，+∞），
∴

1

4

(t+

1

t

-2)∈（0，+∞），∴a∈（0，+∞），
函數f（x）在（0，

1

2

）上不存在極值點，∴a=

x2

1-2x

在（0，

1

2

）上無解，
∴a∈（-∞，0]
綜上，a的取值范圍為（-∞，0]．

點評：本題主要考查函數的單調性與導數的應用，構造函數，利用單調性求解函數的值域是解題的關鍵．