Question

給出下列5個命題：
①函數y=|sin（2x-

π

12

）|的最小正周期

π

2

是；
②直線x=

7π

12

是函數y=2sin（3x-

π

4

）的一條對稱軸；
③函數y=

1

2

sin2x-x有三個零點；
④若sinα+cosα=-

1

5

，且α為第二象限角，則tanα=

3

4

；
⑤函數y=cos（2x-3）在區間（

2

3

，3）上單調遞減．
其中正確的是

 

（填出所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數的圖像與性質,推理和證明

分析：對于①根據三角函數的周期公式得以及絕對值函數的性質即可．
對于②可以利用函數的對稱軸公式即得，也可以直接驗證
對于③根據數形結合判斷結論錯誤，然后用導數證明．
對于④由sinα+cosα=-

1

5

，求出sinα-cosα=

7

5

，求出sinα和cosα即可．
對于⑤可以證明 函數y=cos（2x-3）在區間（

2

3

，

3

2

）上遞增．

解答： 解：對于①，∵y=sin（2x-

π

12

）的周期T=

2π

2

=π，∴y=|sin（2x-

π

12

）|的周期為

π

2

，故結論正確．
對于②，∵y=2sin（3x-

π

4

），由3x-

π

4

=kπ+

π

2

，得3x=kπ+

3π

4

，∴x=

kπ

3

+

π

4

，令k=1，得x=

5π

12

，故結論正確．
對于③，0是奇函數y=

1

2

sin2x-x的一個零點，當x＞0時，y′=cos2x-1≤0恒成立，則y=

1

2

sin2x-x在（0，+∞）是遞減函數，∴y＜0恒成立，∴y=

1

2

sin2x-x在（0，+∞）上沒有零點，同理在（-∞，0）同樣沒有零點．故結論不正確．
對于④若sinα+cosα=-

1

5

，∴1+2sinαcosα=

1

25

，∴2sinαcosα=-

24

25

又α為第二象限角，sinα-cosα＞0，∴sinα-cosα=

(sinα-cosα)2

=

1+ 24 25

=

7

5

，∴sinα=

3

5

，cosα=-

4

5

，∴tanα=

3

4

，故結論正確；
對于⑤，∵x∈（

2

3

，3），∴2x-3∈（-

5

3

，3），由2x-3∈（-

5

3

，0），得x∈（

2

3

，

3

2

），故函數在（

2

3

，

3

2

）是遞增，故結論不正確．
綜上，①②④是正確的．
故答案為：①②④

點評：本題以三角函數性質為載體考查了命題的推導和證明，屬于基礎題．