Question

已知函數f（x）=k（x-1）e^x+x²．
（Ⅰ）當時k=-

1

e

，求函數f（x）在點（1，1）處的切線方程；
（Ⅱ）若在y軸的左側，函數g（x）=x²+（k+2）^x的圖象恒在f（x）的導函數f′（x）圖象的上方，求k的取值范圍；
（Ⅲ）當k≤-l時，求函數f（x）在[k，1]上的最小值m．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）k=-

1

e

時，f（x）=-

1

e

（x-1）e^x+x²，得f′（x）=x（2-e^x-1 ），從而求出函數f（x）在（1，1）處的切線方程；
（Ⅱ）f′（x）=kx（e^x+

2

k

）＜x²+（k+2）x，即：kxe^x-x²-kx＜0，令h（x）=ke^x-x-k，討論當k≤0時，當0＜k≤1時，當k＞1時，從而綜合得出k的范圍；
（Ⅲ）f′（x）=kx（e^x+

2

k

），令f′（x）=0，得：x₁=0，x₂=ln（-

2

k

），令g（k）=ln（-

2

k

）-k，則g′（k）=-

1

k

-1≤0，得g（k）在k=-1時取最小值g（-1）=1+ln2＞0，討論當-2＜k≤-1時，當k=-2時，當k＜-2時的情況，從而求出m的值．

解答： 解：（Ⅰ）k=-

1

e

時，f（x）=-

1

e

（x-1）e^x+x²，
∴f′（x）=x（2-e^x-1 ），∴f′（1）=1，f（1）=1，
∴函數f（x）在（1，1）處的切線方程為y=x，
（Ⅱ）f′（x）=kx（e^x+

2

k

）＜x²+（k+2）x，
即：kxe^x-x²-kx＜0，
∵x＜0，∴ke^x-x-k＞0，
令h（x）=ke^x-x-k，
∴h′（x）=ke^x-1，
當k≤0時，h（x）在x＜0時遞減，h（x）＞h（0）=0，符合題意，
當0＜k≤1時，h（x）在x＜0時遞減，h（x）＞h（0）=0，符合題意，
當k＞1時，h（x）在（-∞，-lnk）遞減，在（-lnk，0）遞增，
∴h（-lnk）＜h（0）=0，不合題意，
綜上：k≤1．
（Ⅲ）f′（x）=kx（e^x+

2

k

），
令f′（x）=0，解得：x₁=0，x₂=ln（-

2

k

），
令g（k）=ln（-

2

k

）-k，則g′（k）=-

1

k

-1≤0，
g（k）在k=-1時取最小值g（-1）=1+ln2＞0，
∴x₂=ln（-

2

k

）＞k，
當-2＜k≤-1時，x₂=ln（-

2

k

）＞0，
f（x）的最小值為m=min{f（0），f（1）}=min{-k，1}=1，
當k=-2時，函數f（x）在區間[k，1]上遞減，m=f（10=1，
當k＜-2時，f（x）的最小值為m=min{f（x₂ ），f（1）}，
f（x₂ ）=-2[ln（-

2

k

）-1]+[ln（-

2

k

）]²=x22-2x₂+2＞1，f（1）=1，
此時m=1，
綜上：m=1．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查參數的取值，導數的應用，是一道綜合題．