Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（

3

，

3

2

），橢圓C左右焦點分別為F₁，F₂，上頂點為E，△EF₁F₂為等邊三角形．定義橢圓C上的點M（x₀，y₀）的“伴隨點”為N（

x0

a

，

y0

b

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求tan∠MON的最大值；
（3）直線l交橢圓C于A、B兩點，若點A、B的“伴隨點”分別是P、Q，且以PQ為直徑的圓經過坐標原點O．橢圓C的右頂點為D，試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關系，并證明．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知

3 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2 c a = 1 2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設kOM=

y0

x0

=k（k＞0），于是kON=

2k

3

，由此利用均值定理能求出tan∠MON的最大值．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P(

x1

2

，

y1

3

)， Q(

x2

2

，

y2

3

)．當直線l的斜率存在時，設方程為y=kx+m，由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得：（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，由此求出S△OAB=

1

2

|AB|d=

3

；當直線l的斜率不存在時，設方程為x=m（-2＜m＜2）聯立橢圓方程得：y2=

3(4-m2)

4

，由此求出△OAB的面積是定值

3

，又△ODE的面積也為

3

，從而得到△OAB的面積與△ODE的面積相等．

解答： 本小題滿分（16分）（第1小題滿分（4分），第2小題滿分（4分），第3小題滿分8分）
解：（1）由已知

3 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2 c a = 1 2

，
解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）當x₀y₀=0時，顯然tan∠MON=0，
由橢圓對稱性，只研究x₀＞0，y₀＞0即可，
設kOM=

y0

x0

=k（k＞0），于是kON=

2k

3

…（5分）
tan∠MON=

2k 3 -k

1+ 2k2 3

=

2- 3

3 k +2k

≤

2- 3

2 2 3

，
（當且僅當k2=

3

2

時取等號），
∴tan∠MON的最大值為

2- 3

2 2 3

．…（8分）
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P(

x1

2

，

y1

3

)， Q(

x2

2

，

y2

3

)；
1）當直線l的斜率存在時，設方程為y=kx+m，
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得：（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0；
有

△=48(3+4k2-m2)＞0 x1+x2= -8km 3+4k2 x1x2= 4(m2-3) 3+4k2

①…（10分）
由以PQ為直徑的圓經過坐標原點O可得：3x₁x₂+4y₁y₂=0；
整理得：(3+4k2)x1x2+4mk(x1+x2)+4m2=0②
將①式代入②式得：3+4k²=2m²，…（12分）
∵3+4k²＞0，∴m²＞0，△=48m²＞0，
又點O到直線y=kx+m的距離d=

|m|

1+k2

∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

4 3 3+4k2-m2

3+4k2

=

1+k2

•

4 3 |m|

3+4k2

=

1+k2

•

4 3 |m|

2m2

所以S△OAB=

1

2

|AB|d=

3

…（14分）
2）當直線l的斜率不存在時，設方程為x=m（-2＜m＜2）
聯立橢圓方程得：y2=

3(4-m2)

4

；
代入3x₁x₂+4y₁y₂=0得3m2-

3(4-m2)

4

=0；
m=±

2 5

5

，y=±

2 15

5

，S_△OAB=

1

2

|AB|d=

1

2

|m||y1-y2|=

3

，
綜上：△OAB的面積是定值

3

又△ODE的面積也為

3

，
∴△OAB的面積與△ODE的面積相等．…（16分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查正切的最大值的求法，考查兩個三角形面積的判斷，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式和弦長公式的合理運用．