Question

【題目】已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，則稱集合M是“垂直對點集”．給出下列四個集合：
①M={ }；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③M={（x，y）|y=log2x}；
④M={（x，y）|y=ex﹣2}．
其中是“垂直對點集”的序號是（ ）
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：對于①y= 是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是90°，所以在同一支上，任意（x1 ， y1）∈M，不存在（x2 ， y2）∈M，滿足好集合的定義；在另一支上對任意（x1 ， y1）∈M，不存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不滿足“垂直對點集”的定義，不是“垂直對點集”．
對于②M={（x，y）|y=sinx+1}，對于任意（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），滿足“垂直對點集”的定義，所以M是“垂直對點集”；正確．
對于③M={（x，y）|y=log2x}，取點（1，0），曲線上不存在另外的點，使得兩點與原點的連線互相垂直，所以不是“垂直對點集”．
對于④M={（x，y）|y=ex﹣2}，如下圖紅線的直角始終存在，對于任意（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），則N（ln2，0），滿足“垂直對點集”的定義，所以是“垂直對點集”；正確．

所以②④正確．
故選D．
【考點精析】認真審題，首先需要了解命題的真假判斷與應用(兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系)．