Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+ ax2﹣2bx
（1）設點a=﹣3，b=1，求f（x）的最大值；
（2）當a=0，b=﹣ 時，方程2mf（x）=x2有唯一實數解，求正數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=﹣3，b=1時，f（x）=lnx﹣ x2﹣2x，

f′（x）= ﹣3x﹣2，f″（x）=﹣ ﹣3＜0，

∴f′（x）在（0，+∞）遞減，

而f′（ ）=0，

∴f（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減，

∴f（x）max=f（ ）=﹣ln3﹣

（2）解：∵方程2mf（x）=x2有唯一實數解，即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實數解，

設g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，則g′（x）= ．

令g′（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．

∵m＞0，x＞0，

∴x1= ＜0（舍去），x2= ．

當x∈（0，x2）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上單調遞減；當x∈（x2，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上單調遞增．

∴g（x）最小值為g（x2）．

則 ，即 ，

∴2mlnx2+mx2﹣m=0即2lnx2+x2﹣1=0．

設h（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），h′（x）= +1＞0恒成立，

故h（x）在（0，+∞）單調遞增，h（x）=0至多有一解．

又h（1）=0，

∴x2=1，

即 =1，解得m=

【解析】（1）a=﹣3，b=1，求出函數的導數，得到函數的單調區間，從而求出函數的最大值即可；（2）方程2mf（x）=x2有唯一實數解，即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實數解，設g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，利用導數可得其最小值為g（x2）．則 ，即2lnx2+x2﹣1=0．設h（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），再利用導數研究其單調性即可得出答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．