Question

【題目】已知函數的最大值為2。

（1）求函數在上的單調遞減區間。

（2）中，若角所對的邊分別是且滿足， 邊，及,求的面積。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）將f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由正弦函數的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值為2列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，進而確定出f（x）的解析式，由正弦函數的遞減區間為[2kπ+，2kπ+]（k∈Z），列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在[0，π]上的單調遞減區間；（2）由（1）確定的f（x）解析式化簡f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，再利用正弦定理化簡，得出a+b=ab①，利用余弦定理得到（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，將①代入②求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

（1）f（x）=msinx+cosx=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），

∴f（x）的最大值為，

∴=2，

又m＞0，∴m=，

∴f（x）=2sin（x+），

令2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），解得：2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），

則f（x）在[0，π]上的單調遞減區間為[，π]；

（2）設△ABC的外接圓半徑為R，由題意C=60°，c=3，得====2，

化簡f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，得sinA+sinB=2sinAsinB，

由正弦定理得：+=2×，即a+b=ab①，

由余弦定理得：a2+b2﹣ab=9，即（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，

將①式代入②，得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，

解得：ab=3或ab=﹣（舍去），

則S△ABC=absinC=．