Question

【題目】已知函數(其中是自然對數的底數, =2.71828…).

(1)當時,過點作曲線的切線，求的方程；

(2)當時,求證;

(3)求證:對任意正整數,都有．

Answer 1

【答案】（1）（2）0≤a≤1（3）見解析

【解析】

（1）將 代入，設出切點坐標，利用導數的幾何意義求出切線的斜率，由點斜式寫出切線方程，再結合切線過點，即可求得切線方程；

（2）只要求出函數的最小值，證明函數的最小值大于等于0即可；
（3）由函數的最小值，構造不等式，令，得出關于正整數n的不等式 ，運用累加法即可證明．

（1）∵當時， ，則，
設切點 ， ，
由點斜式，可得切線方程為

又切線過點，則， ，
∴切線方程為；；

(2)解:由f(x)=ex-ax-a,f′(x)=ex-a

①當a=0時,f(x)=ex≥0恒成立,滿足條件,

②當0<a≤1時,由f′(x)=0,得x=ln a,

則當x∈(-∞,ln a)時,f′(x)<0,當x∈(ln a,+∞)時,f′(x)>0,

所以函數f(x)在(-∞,ln a)上單調遞減,在(ln a,+∞)上單調遞增,

所以函數f(x)在x=ln a處取得極小值即為最小值,

f(x)min=f(ln a)=eln a-aln a-a=-aln a.

因為0<a≤1,所以ln a≤0,所以-aln a≥0,

所以f(x)min≥0,

所以綜上得,當0≤a≤1時,f(x)≥0;

(3)證明:由(2)知,當a=1時,f(x)≥0恒成立,

所以f(x)=ex-x-1≥0恒成立,

即ex≥x+1,所以ln (x+1)≤x,令,

得,

所以ln (1+)+ln (1+)+…+ln (1+)≤++…+==1-()n<1,

所以(1+)(1+)…(1+)<e.