Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線l：yx﹣3經過橢圓1（a＞b＞0）的一個焦點，且點（0，b）到直線l的距離為2．

（1）求橢圓E的方程；

（2）A、B、C是橢圓E上的三個動點，A與B關于原點對稱，且|CA|＝|CB|，求△ABC面積的最小值，并求此時點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2），

【解析】

（1）利用點到直線的距離公式可求出橢圓的方程；

（2）聯立過直線與橢圓方程，利用弦長公式可求出，由對稱性可知，，可得到面積與直線斜率的關系，即可得出答案．

（1）由題可知，，即 ①

又點到直線的距離為，

則有，

解得 ②

由①②得，

故橢圓的方程為：

（2）由題可設過，，，兩點的直線方程為：，

解方程組，

可得

則有，

如圖，

延長交橢圓于點，同理可得，．

，

．

由圖形對稱性可知，．

令．則有，當且僅當，即時，等號成立．

故面積的最小值為，此時，點的坐標為．