Question

【題目】已知橢圓方程為，其右焦點與拋物線的焦點重合，過且垂直于拋物線對稱軸的直線與橢圓交于、兩點，與拋物線交于、兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線l與(1)中橢圓相交于,兩點, 直線, ,的斜率分別為,, (其中)，且,,成等比數列；設的面積為, 以、為直徑的圓的面積分別為, , 求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)由題意可得，，即得，結合可得橢圓方程；（2）設直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯立，寫出韋達定理，由，，成等比數列，可解得k值，然后分別求出S,,寫出的表達式，利用基本不等式可得取值范圍.

（1）由拋物線方程得，橢圓方程為，過F垂直于拋物線對稱軸的直線與橢圓交于M,N兩點，可得，與拋物線交于C,D兩點可得， ， ， ，

所以橢圓方程為 .

(2)設直線的方程為，

由可得 ，

由韋達定理：，

∵，，構成等比數列， ，

即

由韋達定理代入化簡得：，∵ ，．

此時，即．

又由三點不共線得，從而．

故

∵，，，

則

為定值．

，

當且僅當即時等號成立．

綜上：的取值范圍是．