Question

【題目】設離心率為 的橢圓 的左、右焦點為 , 點P是E上一點, , 內切圓的半徑為 .

(1)求E的方程;

(2)矩形ABCD的兩頂點C、D在直線上，A、B在橢圓E上,若矩形ABCD的周長為 , 求直線AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

（1）要求E的方程，需求出。由直角三角形內切圓半徑公式可得，所以依題意有又，由此解得，從而，由此可得橢圓的方程.

（2）由于ABCD為矩形，所以有∥，所以,設直線的方程為，代入橢圓的方程，整理得，再由弦長公式得出，又由∥，由平行線距離公式可得，由得，可將化簡為，再有由已知可得

即可解出得出直線AB的方程.

試題解析：

（1）直角三角形內切圓的半徑

依題意有 ，又，由此解得，從而

故橢圓的方程為

（2）設直線的方程為，代入橢圓的方程，整理得，由得

設，則，

而，由知

所以由已知可得，即，

整理得，解得或（舍去）

所以直線的方程為.